黄金比の窓の予想

黄金比の窓の予想（Golden-window conjecture）は、証明されていない予想である。Trinity-Infinity の三篇が扱う作用素を、繰り返しゲームに当てたノートで立てた（trinity-operator の games）。

英語の論文の形にしたものを figshare に置いた。命題 1〜7 と予想を収めている（10.6084/m9.figshare.34419198、2026年10月13日）。プレプリントであり、査読は受けていない。置いた版は動かさない。直すのはノートのほうである。

舞台は三人のゲームである。各人が協力（C）か裏切り（D）を選ぶ。協力した相手が k 人いるとき、協力すれば k + 1、裏切れば k + 2 を得る。Series I の利得表そのものである。これを限りなく繰り返し、先の利得を割引因子 δ で割り引く。

問いは、乱数を使わずに、利得 (2+t, 4−t, 2+t) を均衡として保てるかどうかである。t は 0 より大きく 1 以下とする。Series II が持続すると書いた (2,4,2) は、この線分の端にあたる。その端そのものは、どの δ でも保てない。

窓の外は証明してある。δ が 1/2 以上で 1/φ より小さいとき、保てる t は δ と 1 の二点だけである。δ が 2/3 以上なら、1 − δ 以上のすべての t を保てる。公開の乱数を使えるなら、条件は δ ≥ max(1/2, 1 − t) になる。

予想は、その間の窓 1/φ < δ < 2/3 についてのものである。(a) 保てる t の集合は、長さが 0 になる。(b) その集合の次元は 0 と 1 の間にあり、δ とともに増え、窓の下端で 0、上端で 1 に近づく。

根拠は数値だけである。区間を期ごとに細かく分けて数えると、生き残る区間の総長は縮み続けた。次元の推定は、δ が大きいほど大きくなった。どちらも有限の深さでの計算であり、証明ではない。

理論ではない。証明は文献と照合しておらず、第三者の公認もない。その条件のうえで、名乗る貢献は三つある。一つは、数学的証明としての数学的貢献である。窓の外の命題（三人の巡回の閾値 1/φ など）がそれにあたり、先行が見つかればゼロに移る。二つ目は、数学的予想としての数学的貢献である。黄金比の窓の予想がそれにあたり、問いを立てたことの貢献であって、解いたことの貢献ではない。三つ目は、科学哲学におけるケーススタディとしての貢献である。再発見の経路がそれにあたり、SSRN の受け付けを通ったが、査読は受けていない。名乗ることと、分野が数えることは別である。

数学的な意義は、文献照合の条件つきである。同じ命題が先にあれば、意義はそちらに属する。そのうえで言えることは四つの性質である。一つの単純なゲームで、δ が増えるにつれて、孤立した二点、穴だらけと予想される集合、線分全体、の三つの相が現れ、境目が正確に分かっている。割引の再帰を逆に回すと、穴をはさむ二本の一次写像になり、繰り返しゲームが「穴のある区間写像」の研究とつながる。公開の乱数が何を足すかを、このゲームについて正確な閾値で測っている。巡回の閾値と窓の下端が同じ多項式で決まることは、偶然でなければ構造の手がかりになる。作用素が新しくなるわけでも、新しい理論になるわけでもない。

科学哲学的な意義は、そのまま残る。三者の直観を形式化したら三は消え、既知の模型が残った。その経路が Machine-mediated Rediscovery（SSRN 10.2139/ssrn.7537983）の事例である。ここに一歩が加わる。結果としての寄与がゼロの再発見でも、その模型をさらに押し進めると、まだ答えのない問いに行き着くことがある。既知・証明済みだがまだ数えていない・予想、の三つを分けて機械で検査していること自体も、事例の一部である。

証明されても、上がるのはこの一命題だけである。一般論をそのまま当てはめて済むなら、既知の理論の具体例の計算になる。(a) と (b) を新しい議論で示せば、小さな論文一本になる。次元を δ の式として閉じた形で出し、1/φ が二度出る理由まで説明できれば、ちゃんとした論文になる。作用素は既知の模型の特殊例のままで、枠組みが新しい理論になるわけではない。巡回の閾値と窓の下端は、同じ多項式 δ² + δ − 1 から出ている。それが偶然かどうかは分かっておらず、予想ではなく問いとして置いている。

名前は中身を表すもので、人名ではない。窓は割引因子の 1/φ から 2/3 までの区間を指す。下端の 1/φ は、三人で裏切り役を回す道が均衡になる閾値と同じ数である。

三篇の数学への寄与はゼロである。窓の外の証明は、ゼロではなく、まだ数えていない。ゼロは、照合した結果、新しいものが無かった状態である。数えていないは、照合がまだの状態である。照合して先行が無ければ、小さいが新しい結果になる。先行が見つかればゼロに移し、その文献を引く。

文献とは照合していない。Berg と Kitti（2014）が、純粋戦略の均衡の利得集合がフラクタルになりうることを示している。その方法で決着がつく可能性がある。三篇の作用素は、Friedkin–Johnsen モデルの特殊例である。

この予想と、窓の外の証明は、Claude Code（Anthropic）を用いて書いた。主張の責任は著者にある。Claude は著者ではない。